Soit \(I(\alpha ) = \int _{x=0}^{+\infty } \dfrac{\sin\alpha x}{e^x-1}\,\mathrm{ \;d}x\).

  1. Justifier l’existence de \(I(\alpha )\).

  2. Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que : \(I(\alpha ) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac a{b+n^2 }\).

  3. Donner un équivalent de \(I(\alpha )\) quand \(\alpha \to +\infty\).

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[ID: 4089] [Date de publication: 16 mars 2024 17:25] [Catégorie(s): Intégration terme à terme ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Développement en série, Ensam PSI 1998, Mines MP 1999
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:25

  1. \(a=\alpha\), \(b=\alpha ^2\).

  2. comparaison série-intégrale \(\Rightarrow I(\alpha )\to _{\alpha \to +\infty }\frac\pi 2\).

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