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Lemme de Lebesgue, Centrale MP 2004
Soit f continue par morceaux définie sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(\mathbb{C}\).
Soient \(a,b\in \mathbb{R}\). Montrer que \(\int _{t=a}^b f(t) \cos(nt)\,\mathrm{ \;d}t\to _{n\to \infty }0\).
On suppose que \(f\) est intégrable sur \(]0,+\infty [\). Soit \(u_n= \int _{t=0}^{n\pi } \sin^2 (nt) f(t)\,\mathrm{ \;d}t\). Montrer que \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) admet une limite quand \(n\to \infty\) et la préciser.
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[ID: 4087] [Date de publication: 16 mars 2024 17:24] [Catégorie(s): Exercices théoriques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Lemme de Lebesgue, Centrale MP 2004
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:24
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:24
\(\sin^2 (nt) = \dfrac{1-\cos(2nt)}2\), donc il suffit d’étudier \(I_n = \int _{t=0}^{n\pi }\cos(2nt)f(t)\,\mathrm{ \;d}t\).
Posons \(I_{n,p} = \int _{t=0}^{\min(n,p)\pi }\cos(2nt)f(t)\,\mathrm{ \;d}t\) : on a \(|I_n-I_{n,p}| \leq \int _{t=p\pi }^{+\infty }|f(t)|\,\mathrm{ \;d}t\), quantité indépendante de \(n\) et tendant vers \(0\) quand \(p\to \infty\) donc le théorème d’interversion des limites s’applique :
\(\lim_{n\to \infty }I_n = \lim_{n\to \infty }\lim_{p\to \infty }I_{n,p} = \lim_{p\to \infty }\lim_{n\to \infty }I_{n,p} = 0\). On en déduit \(u_n \to _{n\to \infty } \dfrac12\int _{t=0}^{+\infty } f(t)\,\mathrm{ \;d}t\).
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