Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue. On définit pour \(x \in \mathbb{R}^*\) et \(y \in \mathbb{R}\) : \(g(x,y) = \dfrac 1x \int _{t=x}^{xy} f(t)\,\mathrm{ \;d}t\).

  1. Montrer que \(g\) peut être prolongée en une fonction continue sur \(\mathbb{R}^2\).

  2. On suppose de plus \(f\) dérivable en 0. Montrer que \(g\) est de classe \(\mathcal C ^1\).

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[ID: 4083] [Date de publication: 16 mars 2024 17:24] [Catégorie(s): Exercices théoriques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Fonction définie par une intégrale
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:24

  1. \(g(x,y) = \int _{u=1}^y f(ux)\,d u\).

  2. \(\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac1x \Bigl( yf(xy)-f(x) - \int _{u=1}^y f(ux)\,d u\Bigr) \to _{x\to 0}\dfrac{y^2 -1}2f'(0)\).

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