Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C ^\infty\) et \(g(x) = \dfrac{f(x)-f(0)}x\) si \(x \neq 0\), \(g(0)=f'(0)\).

Vérifier que \(g(x) = \int _{t=0}^1 f'(tx)\,\mathrm{ \;d}t\). En déduire que \(g\) est de classe \(\mathcal C ^\infty\).

Montrer de même que la fonction \(g_k : x\mapsto \dfrac1{x^k}\left({f(x) - f(0) - xf'(0) - \dots- \dfrac{x^{k-1}}{(k-1)!}f^{(k-1)}(0)}\right)\) se prolonge en une fonction de classe \(\mathcal C ^\infty\) en 0.

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[ID: 4082] [Date de publication: 16 mars 2024 17:24] [Catégorie(s): Exercices théoriques ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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Théorème de division des fonctions \(\mathcal C ^\infty\)
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