Soit \(P\in \mathbb{C}[X]\) de degré \(n\geq 1\). Le but de cet exercice est de prouver que \(P\) admet une racine dans \(\mathbb{C}\). On suppose au contraire que \(P\) ne s’annule pas et on considère pour \(r \geq 0\), \(\theta \in {[0,2\pi ]}\) : \(f(r,\theta ) = \dfrac{r^n e^{in\theta }}{P(re^{i\theta })}\) et \(F(r) = \int _{\theta =0}^{2\pi } f(r,\theta )\,\mathrm{ \;d}\theta\).

  1. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathcal C ^1\) sur \([0,+\infty [\).

  2. Vérifier que \(ir\partial f/\partial r = \partial f/\partial \theta\). En déduire que \(F\) est constante.

  3. Obtenir une contradiction.


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[ID: 4049] [Date de publication: 16 mars 2024 17:17] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 0] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




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