Soient \(f,g\in \mathcal C ([0,+\infty [,\mathbb{R})\). On pose \(h(x) = \int _{t=0}^x f(x-t)g(t)\,\mathrm{ \;d}t\).

  1. Existence et continuité de \(h\).

  2. Peut-on inverser \(f\) et \(g\) ?

  3. On suppose \(f\) intégrable sur \([0,+\infty [\) et \(g\) bornée. Montrer que \(h\) est bornée.

  4. On prend \(f(x) = \dfrac{\sin x}x\) et \(g(x) = \cos(\alpha x)\) avec \(0\leq \alpha \leq 1\). \(h\) est-elle bornée (on pourra étudier les cas \(\alpha =0\) et \(\alpha =1\)) ?


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[ID: 4045] [Date de publication: 16 mars 2024 17:16] [Catégorie(s): Divers ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Convolution (Mines MP 2003)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:16
  1. Pour \(\alpha =0\) on a \(h(x) = \int _{t=0}^x\dfrac{\sin t}t\,\mathrm{ \;d}t\), quantité bornée car l’intégrale converge en \(+\infty\).

    Pour \(\alpha =1\) on a \(h(x) = \cos x\int _{t=0}^x \dfrac{\cos t\sin t}t\,\mathrm{ \;d}t + \sin x\int _{t=0}^x \dfrac{\sin^2 t}t\,\mathrm{ \;d}t\), quantité non bornée car la deuxième intégrale diverge en \(+\infty\).

    Pour \(0<\alpha <1\), développer le \(\cos(x-t)\) puis linéariser les produits obtenus. On obtient quatre intégrales convergentes, donc \(h\) est bornée.


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