Soit \((f_n)_{n\in \mathbb{N}^*}\) une suite de fonctions définie par : \(\forall n\in \mathbb{N}^*,\ \forall x\in {[0,1]},\ f_n(x) = \Bigl(\dfrac{x+x^n }2\Bigr)^n\).

  1. Montrer que \((f_n)\) converge simplement vers une fonction \(\varphi\).

  2. \(\,\)

    1. La convergence est-elle uniforme ?

    2. La convergence est-elle monotone ?

  3. Soit, pour \(n\in \mathbb{N}^*\), \(J_n = \int _{x=0}^1 f_n(x)\,\mathrm{ \;d}x\). Montrer que \(J_n\sim \dfrac2{n^2 }\).

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[ID: 4036] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Suite d’intégrales, Centrale MP 2004
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12

  1. \(0\leq f_n(x)\leq x^n\) et \(f_n(1) = 1\) donc \(f_n(x)\to _{n\to \infty } \begin{cases}0 &si\)x<1\(\\ 1 &si\)x=1\(.\\\end{cases}\)

    1. Non, la continuité n’est pas conservée.

    2. Oui, il y a décroissance évidente.

  3. Changement de variable \(u=\Bigl(\dfrac{1+x^{n-1}}2\Bigr)^n\) : \(J_n=\dfrac2{n(n-1)}\int _{u=1/2^n }^1 (2u^{1/n}-1)^{2/(n-1)}u^{1/n}\,d u\) et l’intégrale tend vers \(1\) quand \(n\to \infty\) par convergence dominée.

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