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[ID: 4034] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Ensae MP\(^*\) 2000
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12

Si \(\alpha \in 2\pi \mathbb{Z}\) alors \(u_n=0\) pour tout \(n\). Sinon,

\(u_n = \mathop{\mathrm{Im}}\Bigl(\int _{t=0}^1 \sum_{k=1}^n t^{n+k-1}e^{ik\alpha }\,\mathrm{ \;d}t\Bigr) =\mathop{\mathrm{Im}}\Bigl(\int _{t=0}^1 \dfrac{t^n e^{i\alpha }-t^{2n}e^{i(n+1)\alpha }}{1-te^{i\alpha }}\,\mathrm{ \;d}t\Bigr) \to _{n\to \infty }0\) par convergence dominée.