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\(\tan^n t\), Ensi Physique P 94
On pose \(I_n = \int _0^{\pi /4} \tan^n t\,\mathrm{ \;d}t\).
Montrer que \(I_n \to _{n\to \infty } 0\).
Calculer \(I_n\) en fonction de \(n\).
Que peut-on en déduire ?
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[ID: 4030] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
\(\tan^n t\), Ensi Physique P
94
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
\(I_n+I_{n+2} = \frac1{n+1}\).
\(I_{2k} = \frac1{2k-1} - \frac1{2k-3} + \dots+ \frac{(-1)^{k-1}}1 + (-1)^k\frac\pi 4\),
\(I_{2k+1} = \frac1{2k} - \frac1{2k-2} + \dots+ \frac{(-1)^{k-1}}2 - (-1)^k\ln\sqrt 2\).
\(\frac11-\frac13+\frac15 - \dots= \frac\pi 4\) et \(\frac11-\frac12+\frac13-\dots=\ln 2\).
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