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\((1-x/n)^n\), Ensi PSI 1998
Soit \(x\in {[0,n]}\). Montrer que \((1-x/n)^n \leq e^{-x}\). En déduire \(\lim_{n\to \infty } \int _{x=0}^n (1-x/n)^n \,\mathrm{ \;d}x\).
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[ID: 4028] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
\((1-x/n)^n\), Ensi PSI
1998
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12
Soit \(f_n(x) = (1-x/n)^n\) si \(0\leq x\leq n\) et \(f_n(x) = 0\) si \(x>n\). Alors \(f_n(x) \to _{n\to \infty }^{\text{simpl}} e^{-x}\) et il y a convergence dominée.
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