1. Soit \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continue. Montrer que \(\int _{t=0}^1 f(t^n )\,\mathrm{ \;d}t \to _{n\to \infty } f(0)\).

  2. Chercher un équivalent pour \(n\to \infty\) de \(\int _{t=0}^1 \dfrac{t^n \,\mathrm{ \;d}t}{1+t^n }\).

  3. Chercher un équivalent pour \(n\to \infty\) de \(-1 + \int _{t=0}^1 \sqrt {1+t^n }\,\mathrm{ \;d}t\).

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[ID: 4017] [Date de publication: 16 mars 2024 17:12] [Catégorie(s): Suites définies par une intégrale ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(f(t^n )\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 17:12

  1. TCD

  2. \(=\left[\dfrac{t\ln(1+t^n )}n\right]_{t=0}^1 - \dfrac1n\int _{t=0}^1 \ln(1+t^n )\,\mathrm{ \;d}t \sim \dfrac{\ln 2}n\).

  3. \(\dfrac1n\int _{t=0}^1 \dfrac{\mathrm{ \;d}t}{\sqrt {1+t}+1} = \dfrac{2\sqrt 2-2+2\ln(2\sqrt 2-2)}n\).

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\(f(t^n )\)
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