Déterminer la limite pour \(n\to \infty\) de \(\int _{x=0}^{+\infty }x^{-1/n}(1+x/n)^{-n}\,\mathrm{ \;d}x\).


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[ID: 4013] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Mines MP 2012
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46

L’intégrande tend simplement vers \(e^{-x}\) ; il reste à dominer. Pour \(x\geq 0\) on a \[\Bigl(1+\dfrac xn\Bigr)^n = 1+ x +\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\dfrac{x^2 }{2!} +\Bigl(1-\dfrac1n\Bigr)\Bigl(1-\dfrac2n\Bigr)\dfrac{x^3}{3!} +\dots\] Cette expression est une fonction croissante de \(n\) à \(x\) fixé. Ainsi, \((1+x/n)^n \geq (1+x/3)^3\) pour \(n\geq 3\), puis \(0\leq x^{-1/n}(1+x/n)^{-n}\leq \max(1,x)(1+x/3)^{-3}\), quantité intégrable. La limite demandée est donc \(\int _{x=0}^{+\infty }e^{-x}\,\mathrm{ \;d}x=1\).


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