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[ID: 4011] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

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Polytechnique MP 2002
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46

Pour \(\lambda \neq 0\) : \(I_n = \Bigl[\dfrac{\exp(\lambda n\sin^2 (x))}{2\lambda n\cos(x)}\Bigr]_{x=0}^\alpha -\int _{x=0}^{\alpha }\dfrac{\sin(x)}{2\lambda n\cos^2 (x)}\exp(\lambda n\sin^2 (x))\,\mathrm{ \;d}x = \dfrac{\exp(\lambda n\sin^2 (\alpha ))}{2\lambda n\cos(\alpha )} - \dfrac1{2\lambda n} - \dfrac{J_n}{2\lambda n}\) avec \(0\leq J_n\leq \dfrac{I_n}{\cos^2 (\alpha )}\). Donc \(I_n\sim \dfrac{\exp(\lambda n\sin^2 (\alpha ))}{2\lambda n\cos(\alpha )}\) si \(\lambda > 0\) et \(I_n\sim - \dfrac1{2\lambda n}\) si \(\lambda <0\).