Domaine de définition de \(I(\alpha ) = \int _{x=0}^{+\infty }\dfrac{x\ln x}{(1+x^2 )^\alpha }\,\mathrm{ \;d}x\). Calculer \(I(2)\) et \(I(3)\). Déterminer la limite de \(I(\alpha )\) en \(+\infty\).


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[ID: 4009] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale MP 2000
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46

\(I(\alpha )\) est définie pour tout \(\alpha >1\). \(I(2) = (x=e^u) = \int _{u=-\infty }^{+\infty } \dfrac{ue^{2u}}{(1+e^{2u})^2 }\,d u = \int _{u=-\infty }^{+\infty } \dfrac{u}{(e^u+e^{-u})^2 }\,d u = 0\) (parité). \(I(3) = \int _{u=-\infty }^{+\infty } \dfrac{ue^{-u}}{(e^u+e^{-u})^3}\,d u = \int _{u=0}^{+\infty } \dfrac{-u(e^u-e^{-u})}{(e^u+e^{-u})^3}\,d u = \Bigl[\dfrac{u}{2(e^u+e^{-u})^2 }\Bigr]_{u=0}^{+\infty } - \int _{u=0}^{+\infty } \dfrac{d u}{2(e^u+e^{-u})^2 }\) \(\phantom{I(3)} = -\int _{u=0}^{+\infty } \dfrac{e^{2u}\,d u}{2(1+e^{2u})^2 } = \Bigl[\dfrac{1}{4(1+e^{2u})}\Bigr]_{u=0}^{+\infty } = -\dfrac18\). \(I(\alpha )\to _{\alpha \to +\infty }0\) par convergence dominée.


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