Soit \(f:[a,b]\to \mathbb{R}_{+}\) continue. On pose \(\varphi (x) = \left({\int _{t=a}^b (f(t))^x\,\mathrm{ \;d}t}\right)^{1/x}\).

  1. Montrer que \(\varphi (x) \to _{x\to +\infty } \max(f)\).

  2. On suppose \(f > 0\) et \(b-a = 1\). Montrer que \(\varphi (x) \to _{x\to 0_{+} } \exp\left({\int _{t=a}^b\ln(f(t))\,\mathrm{ \;d}t}\right)\).


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[ID: 4007] [Date de publication: 16 mars 2024 16:46] [Catégorie(s): Limites et équivalents d'une intégrale à paramètre ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\((\int f^x)^{1/x}\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:46
  1. Soit \(\varepsilon> 0\) : Pour \(x\) assez petit, \(\bigl|f(t)^x-1-x\ln(f(t))\bigr| \leq \varepsilon x\) car \(\ln f\) est borné sur \([a,b]\).

    Donc \(\left|\int _{t=a}^b f(t)^x\mathrm{ \;d}t - 1 - x\int _{t=a}^b\ln(f(t))\,\mathrm{ \;d}t\right| \leq \varepsilon x\), et \(\left|\ln\left({\int _{t=a}^b f(t)^x\mathrm{ \;d}t}\right) - x\int _{t=a}^b\ln(f(t))\,\mathrm{ \;d}t\right| \leq 2\varepsilon x\).


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