Montrer qu’il existe une et une seule sphère \(\mathcal S\) tangente en \(A\left(1,2,1\right)\) à la droite \(\mathcal D~:\begin{cases}x+y-2z&=1\\2x-y-3z&=-3 \end{cases}\) et tangente en \(A'\left(1,-1-2\right)\) à la droite \(\mathcal D'~:\begin{cases} 2x+y+2z&=-3\\x-y-z&=4\end{cases}\). On déterminera son centre et son rayon.


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[ID: 296] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:55] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 184
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:55

Supposons qu’une telle sphère \(\mathcal S\) existe. Notons \(\Omega\left(x_\Omega,y_\Omega,z_\Omega\right)\) son centre. En utilisant les équations cartésiennes de \(\mathcal D\) et \(\mathcal D'\), on calcule \(\overrightarrow{u}=\left(-5,-1,-3\right)\) un vecteur directeur de \(\mathcal D\) et \(\overrightarrow{u}'=\left(1,4,-3\right)\) un vecteur directeur de \(\mathcal D'\). Comme les deux droites sont tangentes à la sphère, on doit avoir \(\overrightarrow{\Omega A}\cdot \overrightarrow{u}=0\) et \(\overrightarrow{\Omega A'}\cdot \overrightarrow{u'}=0\) ce qui amène les deux équations : \(5x_\Omega+y_\Omega+3z_\Omega=10\) et \(x_\Omega+4y_\Omega-3z_\Omega=3\). Comme \(A,A'\in \mathcal S\), on doit aussi avoir \(\left\|\overrightarrow{\Omega A}\right\|=\left\|\overrightarrow{\Omega A'}\right\|\) ce qui amène l’équation : \(y_\Omega+z_\Omega=0\). On résout alors le système : \[\begin{cases}5x_\Omega+y_\Omega+3z_\Omega&=10 \\ x_\Omega+4y_\Omega-3z_\Omega&=3\\ y_\Omega+z_\Omega&=0\end{cases}\] et on trouve \(\Omega\left(76/37,5/37,-5/37\right)\). On en déduit que le rayon de \(\mathcal S\) est \({\scriptstyle 3\over\scriptstyle 37}\sqrt{894}\). Réciproquement, on vérifie que cette sphère convient.


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