Montrer qu’il existe une et une seule sphère, dont on déterminera le rayon et le centre, intersectant les plans \(x=1\) et \(z=-1\) suivant les cercles d’équations cartésiennes : \[\mathcal C_1: \begin{cases} x=1\\ y^2-2y+z^2+6z+2 = 0\end{cases} \quad \textrm{ et} \quad\mathcal C_2: \begin{cases} z=-1\\ x^2-4x+y^2-2y= 0\end{cases}.\]


Barre utilisateur

[ID: 294] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:55] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 75
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:55

On a : \[y^2-2y+z^2+6z +2=(y-1)^2+(z+3)^2-8 \quad \textrm{ et} \quad x^2-4x+y^2-2y=(x-2)^2+(y-1)^2-5\] donc \(\mathcal C_1\) est le cercle de centre \(\Omega_1\left(1,1,-3\right)\) et de rayon \(2\sqrt 2\), \(\mathcal C_2\) est le cercle de centre \(\Omega_2\left(2,1,-1\right)\) et de rayon \(\sqrt 5\). Le centre \(\Omega\) de la sphère \(\mathcal S\) se trouve à l’intersection de la droite perpendiculaire au plan \(x=1\) et passant par \(\Omega_1\) et de la droite perpendiculaire au plan \(z=-1\) et passant par \(\Omega_2\), donc \(\Omega\left(2,1,-3\right)\). Calculons maintenant son rayon. Le point \(A\left(0,0,-1\right)\) est élément de \(\mathcal C_2\) et donc de \(\mathcal S\). Calculons \(\left\|\overrightarrow{A\Omega}\right\|=\sqrt{9}=3\) et le rayon de \(\mathcal S\) est \(3\).


Documents à télécharger