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[ID: 292] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:54] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]

Solution(s)

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Exercice 534
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:54

1. On a : \[x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z-11=0 \Longleftrightarrow\left(x-1\right)^2 + \left(y+2\right)^2 + \left(z+3\right)^2=25\] Par conséquent \(\mathscr S\) est la sphère de centre et de rayon .

2. Appliquant le cours : \[d\left(\Omega,\mathscr P\right)=\dfrac{\left|3\times 1 + 4\times 3 +19\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}={\scriptstyle 34\over\scriptstyle 5}>5\] L’intersection de \(\mathscr P\) et de \(\mathscr S\) est donc vide.

3. Un vecteur directeur à \(\Delta\) est un vecteur normal à \(\mathscr P\). Par conséquent le vecteur \(\overrightarrow{n} \underset{}{\left|\begin{matrix} 3\\ 0\\-4 \end{matrix}\right.}\) dirige \(\Delta\). Une équation paramétrique de \(\Delta\) est donc : \[\boxed{\begin{cases} x=1+3t\\ y=-2 \\ z=-3-4t\end{cases}}\]

4. Les points de \(\mathscr S\) à distance maximale et minimale de \(\mathscr P\) sont les solutions du système : \[\begin{cases} \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z+3\right)^2 = 25\\x=1+3t\\y=2\\z=3-4t\end{cases}\] et sont donc : \(\boxed{M \underset{}{\left|\begin{matrix} -2\\-2 \\1 \end{matrix}\right.}}\) et \(\boxed{N \underset{}{\left|\begin{matrix} 4\\-2 \\-7 \end{matrix}\right.}}\). Par suite : \[d\left(M,\mathscr P\right)=\dfrac{\left|3\times (-2) -4 \times 1+19\right|}{5}=\boxed{{\scriptstyle 9\over\scriptstyle 5}} \quad \textrm{ et} \quad d\left(N,\mathscr P\right)=\dfrac{\left|3\times 4 -4 \times -7+19\right|}{5}=\boxed{{\scriptstyle 59\over\scriptstyle 5}}\] Le point le plus près de \(\mathscr P\) est donc \(M\) et le plus loin est \(N\).