On muni l’espace d’un repère orthonormal \(\mathscr R\left(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\). On considère la sphère \(\mathscr S\) d’équation : \[x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z-11=0\] ainsi que le plan \(\mathscr P\) d’équation : \[3x-4z+19=0.\]

  1. Donner le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\) de \(\mathscr S\).

  2. Déterminer l’intersection de \(\mathscr P\) et de \(\mathscr S\).

  3. Donner une représentation paramétrique de la droite \(\Delta\) perpendiculaire à \(\mathscr P\) qui passe par \(\Omega\).

  4. Trouver les coordonnées des points \(M\) et \(N\) de \(\mathscr S\) respectivement le plus proche et le plus éloigné de \(\mathscr P\) en précisant les distances correspondantes (ces points sont sur \(\Delta\)).


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[ID: 292] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:54] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 534
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:54
  1. On a : \[x^2+y^2+z^2-2x+4y+6z-11=0 \Longleftrightarrow\left(x-1\right)^2 + \left(y+2\right)^2 + \left(z+3\right)^2=25\] Par conséquent \(\mathscr S\) est la sphère de centre et de rayon .

  2. Appliquant le cours : \[d\left(\Omega,\mathscr P\right)=\dfrac{\left|3\times 1 + 4\times 3 +19\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}={\scriptstyle 34\over\scriptstyle 5}>5\] L’intersection de \(\mathscr P\) et de \(\mathscr S\) est donc vide.

  3. Un vecteur directeur à \(\Delta\) est un vecteur normal à \(\mathscr P\). Par conséquent le vecteur \(\overrightarrow{n} \underset{}{\left|\begin{matrix} 3\\ 0\\-4 \end{matrix}\right.}\) dirige \(\Delta\). Une équation paramétrique de \(\Delta\) est donc : \[\boxed{\begin{cases} x=1+3t\\ y=-2 \\ z=-3-4t\end{cases}}\]

  4. Les points de \(\mathscr S\) à distance maximale et minimale de \(\mathscr P\) sont les solutions du système : \[\begin{cases} \left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(z+3\right)^2 = 25\\x=1+3t\\y=2\\z=3-4t\end{cases}\] et sont donc : \(\boxed{M \underset{}{\left|\begin{matrix} -2\\-2 \\1 \end{matrix}\right.}}\) et \(\boxed{N \underset{}{\left|\begin{matrix} 4\\-2 \\-7 \end{matrix}\right.}}\). Par suite : \[d\left(M,\mathscr P\right)=\dfrac{\left|3\times (-2) -4 \times 1+19\right|}{5}=\boxed{{\scriptstyle 9\over\scriptstyle 5}} \quad \textrm{ et} \quad d\left(N,\mathscr P\right)=\dfrac{\left|3\times 4 -4 \times -7+19\right|}{5}=\boxed{{\scriptstyle 59\over\scriptstyle 5}}\] Le point le plus près de \(\mathscr P\) est donc \(M\) et le plus loin est \(N\).


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