Soit une droite \(\mathcal{D}\) de l’espace et \(A\), \(B\) deux points distincts tels que les droites \((AB)\) et \(\mathcal{D}\) soient orthogonales et non-coplanaires. Déterminer le lieu des centres des sphères passant par \(A\) et \(B\) et tangentes à \(\mathcal{D}\).


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[ID: 290] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:54] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 375
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:54

Dans un bon repère, on a  : \[A \underset{}{\left|\begin{matrix} -a\\0\\0 \end{matrix}\right.}, \quad B \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\0\\0 \end{matrix}\right.} \quad \textrm{ et} \quad\mathcal{D}: \begin{cases} z = h \\ x = 0\end{cases}.\] Comme \(\Omega A = \Omega B\), \(\Omega\) est dans le plan médiateur de \([AB]\), \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\y\\z \end{matrix}\right.}\). On traduit que \(\mathcal{D}\) est tangente à la sphère par \(d(\Omega, \mathcal{D} = R = \lVert A\Omega \rVert_{ }\). On trouve alors \(2hz = -y^2 - h^2 + a^2\), c’est une parabole dans le plan médiateur de \([AB]\).


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