1. Montrer que \(x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0\) est l’équation d’une sphère \(\mathscr S\) dont on déterminera le centre et le rayon.

  2. Étudier l’intersection de \(\mathscr S\) avec le plan \(\mathscr P\) d’équation \(x+y+z-1=0\). On précisera les éléments géométriques de cette intersection.


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[ID: 288] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:54] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 595
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:54
  1. L’équation \(x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0\) s’écrit aussi : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=3^2\). On reconnaît l’équation d’une sphère de centre et de rayon .

  2. On applique le cours : \(d\left(\Omega,\mathscr P\right) = \dfrac{\left|x_\omega + y_\Omega+z_\Omega-1\right|}{\sqrt{3}}={\scriptstyle 5\sqrt 3\over\scriptstyle 3} <3\). \(\mathscr S \cap \mathscr P\) est donc un cercle. Déterminons son centre et son rayon. Soit \(A\) un point de ce cercle et \(B\) le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur \(\mathscr P\). Le triangle \(\Omega A B\) est rectangle en \(B\), \(OA\) est un rayon de la sphère \(\mathscr S\) donc \(OA=3\) et de plus : \(OB= {\scriptstyle 5\sqrt 3\over\scriptstyle 3}\). En appliquant le théorème de Pythagore dans ce triangle, on trouve \(AB={\scriptstyle\sqrt{6}\over\scriptstyle 3}\). Par conséquent, le rayon du cercle intersection de \(\mathscr S\) avec le plan \(\mathscr P\) vaut \(\boxed{{\scriptstyle\sqrt{6}\over\scriptstyle 3}}\). Il reste à déterminer les coordonnées du point \(B\) qui est aussi le centre de ce cercle. La droite \(\left(\Omega B\right)\) est perpendiculaire à \(\mathscr P\) et est donc dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{n} \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right.}\) qui est normal à \(\mathscr P\). Cette droite est donc paramétrée par: \(\begin{cases}x&=1+t\\y&=2+t\\z&=3+t \end{cases},\quad t\in \mathbb{R}\). Les coordonnées de \(B\) sont solutions du système : \(\begin{cases}x=1+t\\y=2+t\\z=3+t\\ x+y+z-1=0\end{cases}\) et donc \(\boxed{B \underset{}{\left|\begin{matrix} -{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}\\{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3} \\ {\scriptstyle 4\over\scriptstyle 3} \end{matrix}\right.}}\).


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