Calculer la distance entre la droite \[\mathcal{D}: \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + z = 1 \end{cases}\] et la sphère \[\mathcal{S}:~ x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 2y - 4z = -5\]


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[ID: 286] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:54] [Catégorie(s): Sphères ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 643
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:54

En faisant apparaître des carrés, on montre que  \[\mathcal S~:\quad \left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2 +\left(z-2\right)^2=9\] donc le centre de la sphère est \(\Omega \left(3 , -1 , 2\right)\) et son rayon vaut \(R = 3\). Si on fixe \(z=0\) dans l’équation de \(\mathcal D\), on trouve qu’un point de \(\mathcal D\) est \(A\left(1,1,0\right)\). Un vecteur directeur de \(\mathcal D\) est \(\overrightarrow{u}\) de coordonnées \[\underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\-1\\1 \end{matrix}\right.}\wedge \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\0\\1 \end{matrix}\right.}= \underset{}{\left|\begin{matrix} -1\\0\\1 \end{matrix}\right.} .\] Alors \[d(\Omega, \mathcal{D}) = \dfrac{\lVert \overrightarrow{A\Omega} \wedge \overrightarrow{u} \rVert_{ }}{ \lVert \overrightarrow{u} \rVert_{ }}= \dfrac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}}={\sqrt{12}} \quad \textrm{ et} \quad \,\hbox{\rm d}\left(\mathcal S,\mathcal D\right)=\boxed{\sqrt{12}-3}.\]


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