Que dire de \(\varphi :[a, b]\to \mathbb{R}\) continue telle que la série de terme général \(\int _{t=a}^b\frac{\varphi (t)\,\mathrm{ \;d}t}{t+ln(n)}\) (bien définie pour \(n>e^{-a}\)) converge ? Indication: faire apparaître des séries.


Barre utilisateur

[ID: 3997] [Date de publication: 16 mars 2024 16:44] [Catégorie(s): Série d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Mines 2017
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:44

\(\dfrac1{t+\ln(n)}=\dfrac1{\ln(n)}\times \dfrac1{1+t/\ln(n)} =\dfrac1{\ln(n)}\sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-1)^kt^k}{\ln^k(n)}\) pour tout \(t\) tel que \(|t|<\ln(n)\) donc pour tout \(t\in [a,b]\) si \(n>e^{\max(|a|,|b|)}\). De plus, la convergence est alors normale donc, \(\varphi\) étant bornée sur \([a,b]\), on obtient par intégration terme à terme : \[\sum_n\sum_{k=0}^\infty \Bigl(\int _{t=a}^b(-1)^k\varphi (t)t^k\,\mathrm{ \;d}t\Bigr)\dfrac1{\ln^{k+1}(n)} \text{ converge.}\] Si les intégrales \(\int _{t=a}^b\varphi (t)t^k\,\mathrm{ \;d}t\) ne sont pas toutes nulles alors la somme de la série interne est équivalente, à un facteur près, à \(1/\ln^{k+1}(n)\) lorsque \(n\to \infty\) pour le plus petit \(k\) donnant une intégrale non nulle. Or les séries de termes généraux \(1/\ln^{k+1}(n)\) sont toutes divergentes. Ainsi toutes les intégrales sont nulles et \(\varphi\) est orthogonale à toutes les fonctions \(t\mapsto t^k\) pour le produit scalaire usuel sur \(\mathcal C ([a,b],\mathbb{R})\). Avec le théorème de Stone-Weierstrass, on conclut que \(\varphi =0\) (qui effectivement convient).


Documents à télécharger