Convergence et valeur de \(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\int _{t=0}^{\pi /2}\cos^n(t)\,\mathrm{ \;d}t\).


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[ID: 3995] [Date de publication: 16 mars 2024 16:44] [Catégorie(s): Série d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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TPE 2016
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:44

\(\int _{t=0}^{\pi /2}\cos^n(t)\,\mathrm{ \;d}t\to _{n\to \infty }0\) en décroissant par convergence dominée donc la série converge. En regroupant les termes deux par deux, on peut appliquer le théorème d’intégration terme à terme cas réel positif d’où \[\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\int _{t=0}^{\pi /2}\cos^n(t)\,\mathrm{ \;d}t= \int _{t=0}^{\pi /2}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\cos^n(t)\,\mathrm{ \;d}t= \int _{t=0}^{\pi /2}\dfrac{\mathrm{ \;d}t}{1+\cos t}=(u=\tan(t/2))=1.\]


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