Soit \(u_n(t)\) le terme général d’une série : \(u_n(t)= t^{n-1}\sin(nx)\) avec \(0<x<\pi\).

  1. Étudier la convergence de la série.

  2. Calculer \(\sum_{p=0}^n u_p(t) = S_n(t)\). Mettre \(S_n(t)\) sous la forme \(\dfrac{P_n(t)}{Q(t)}\) avec \(Q(t)>\alpha\), \(\alpha >0\).

  3. Calculer \(\lim_{n\to \infty } S_n(t)\) et \(\lim_{n\to \infty }\int _{t=0}^1 S_n(t)\,\mathrm{ \;d}t\).

  4. En déduire \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(nx)}n\).


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[ID: 3993] [Date de publication: 16 mars 2024 16:44] [Catégorie(s): Série d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(nx)}n\), Mines-Ponts MP 2004
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:44
  1. \(\sum u_n(t)\) converge pour \(|t|<1\).

  2. \(P_n(t) = t^{n+1}\sin(nx) - t^n \sin((n+1)x) + \sin(x)\), \(Q(t) = t^2 - 2t\cos(x) + 1 = (t-\cos x)^2 + \sin^2 x\geq \sin^2 x\).

  3. Pour \(|t|<1\) on a \(S_n(t)\to _{n\to \infty }\dfrac{\sin t}{Q(t)}\) et il y a convergence dominée vu la minoration de \(Q\) donc l’intégrale suit : \(\int _{t=0}^1 S_n(t)\,\mathrm{ \;d}t\to _{n\to \infty }\int _{t=0}^1 \dfrac{\sin x\,\mathrm{ \;d}t}{t^2 -2t\cos x + 1} = (t-\cos x = u\sin x) = \int _{u=-\cot x}^{\tan(x/2)}\dfrac{d u}{u^2 +1} = \dfrac{\pi -x}2\).

  4. \(\dfrac{\sin(nx)}n = \int _{t=0}^1 u_n(t)\,\mathrm{ \;d}t\) d’où \(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(nx)}n = \dfrac{\pi -x}2\).


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