Soit \((a_n)_{n\in \mathbb{N}}\) la suite définie par \(a_0=1\) et \(a_n = \dfrac1{n!}\int _{t=0}^1 t(t-1)\dots(t-n)\,\mathrm{ \;d}t\).

  1. Quel est le rayon de convergence de la série entière \(\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\) ?

  2. Donner un équivalent de \(a_n\).


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[ID: 3991] [Date de publication: 16 mars 2024 16:44] [Catégorie(s): Série d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale MP 2004
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:44
  1. Pour \(0\leq t\leq 1\) on a \(t(1-t)(n-1)! \leq t(1-t)\dots(n-t)\leq n!\) d’où \(\dfrac1{6n}\leq |a_n|\leq 1\) et \(R=1\).

  2. \((-1)^n a_n=\int _{t=0}^1 t(1-t)(1-t/2)\dots(1-t/n)\,\mathrm{ \;d}t\). Pour \(0\leq x\leq \frac12\) on a \(x\leq -\ln(1-x)\leq x+x^2\) (étude de fonction) donc pour \(k\geq 2\) et \(0\leq t\leq 1\) : \(e^{-t/k-t^2 /k^2 }\leq 1-t/k\leq e^{-t/k}\) d’où :

    \[b_n = \int _{t=0}^1 t(1-t)e^{-t(H_n-1)-t^2 K_n}\,\mathrm{ \;d}t\leq (-1)^n a_n \leq \int _{t=0}^1 te^{-tH_n}\,\mathrm{ \;d}t = c_n\] avec \(H_n = 1+1/2+\dots+1/n\) et \(K_n = 1/2^2 +\dots+1/n^2\).

    Équivalent du majorant : \[c_n = \dfrac{1-(1+H_n)e^{-H_n}}{H_n^2 }\sim\dfrac1{H_n^2 }.\]

    Équivalent du minorant : \[\begin{aligned} b_n&\geq \int _{t=0}^1 t(1-t)(1-t^2 K_n)e^{-t(H_n-1)}\,\mathrm{ \;d}t\\ &= \int _{t=0}^1 te^{-t(H_n-1)}\,\mathrm{ \;d}t - \int _{t=0}^1 t^2 (1+t(1-t)K_n)e^{-t(H_n-1)}\,\mathrm{ \;d}t\\ &\geq \int _{t=0}^1 te^{-t(H_n-1)}\,\mathrm{ \;d}t - (1+{\textstyle\frac14}K_n)\int _{t=0}^1 t^2 e^{-t(H_n-1)}\,\mathrm{ \;d}t\\ &\geq \dfrac{1-H_ne^{1-H_n}}{(H_n-1)^2 } - (1+{\textstyle\frac14}K_n)\dfrac{2-(H_n^2 +1)e^{1-H_n}}{(H_n-1)^3}\\ &\sim\dfrac1{H_n^2 }. \end{aligned}\] Finalement, \(a_n\sim\dfrac{(-1)^n }{H_n^2 }\sim\dfrac{(-1)^n }{\ln^2 n}\).


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