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Exercice 1937
On pose pour \(n\geq 2\), \(u_n=\int _{x=0}^{+\infty } \dfrac1{1+x^n }\, \mathrm{ \;d}x\). Montrer que la suite \((u_n)\) converge, puis que la série \(\sum(u_n-1)\) converge également.
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[ID: 3989] [Date de publication: 16 mars 2024 16:44] [Catégorie(s): Série d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 1937
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:44
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:44
\(u_n\to _{n\to \infty }1\) par convergence dominée.
\(u_n-1 = \int _{x=0}^1 \Bigl(\dfrac{1+x^{n-2}}{1+x^n }-1\Bigr)\,\mathrm{ \;d}x = \dfrac1n\int _{u=0}^1 \dfrac{u^{1-1/n}}{1+u}(u^{-2/n}-1)\,d u\).
On a \(0\leq u^{-2/n}-1=\exp\Bigl(-\dfrac{2\ln(u)}n\Bigr)-1 \leq -\dfrac{2\ln(u)}n\exp\Bigl(-\dfrac{2\ln(u)}n\Bigr)\)
d’où \(0\leq u_n\leq \dfrac2{n^2 }\int _{u=0}^1 \dfrac{u^{1-3/n}(-\ln u)}{1+u}\,d u = O\Bigl(\dfrac1{n^2 }\Bigr)\).
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