On pose pour \(n\geq 2\) : \(v_n=\int _{x=0}^1 \dfrac 1{1+x^n }\, \mathrm{ \;d}x\). Montrer que la suite \((v_n)\) converge. Nature de la série \(\sum(v_n-1)\) ?


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[ID: 3987] [Date de publication: 16 mars 2024 16:43] [Catégorie(s): Série d'intégrales ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 1936
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:44

\(v_n\to _{n\to \infty }1\) par convergence dominée. \(v_n-1 = \int _{x=0}^1 \dfrac{x^n }{1+x^n }\, \mathrm{ \;d}x = \dfrac1n\int _{u=0}^1 \dfrac{u^{-1/n}}{1+u}\,d u \sim \dfrac{\ln 2}n\) donc la série diverge.


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