Calculer les limites : \(\lim_{x\to 0}\int _x^{3x} \dfrac t{\tan^2 t}\,\mathrm{ \;d}t\) et \(\lim_{x\to 0} \dfrac1{x^3}\int _0^x \dfrac {t^2 }{t+e^{3t}}\,dt\).


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[ID: 3979] [Date de publication: 16 mars 2024 16:42] [Catégorie(s): Le paramètre est dans les bornes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Calcul de limite, Ensi P 90
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 16:42

\(\dfrac t{\tan^2 t} = \dfrac1t + \varphi (t)\) avec \(\varphi\) prolongeable par continuité en \(0\), donc \(\lim_{x\to 0}\int _x^{3x} \dfrac t{\tan^2 t}\,dt = \ln 3\).

\(\dfrac{t^2 }{t+e^{3t}} = t^2 + o(t^2 )\) donc \(\lim_{x\to 0} \dfrac1{x^3}\int _0^x \dfrac {t^2 }{t+e^{3t}}\,dt = \frac13\).


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