Soit \(f:{\mathbb{R}_{+} }\to \mathbb{R}\) continue de carré intégrable. On définit la fonction \(g\) telle que \(g(x) = \dfrac1x\int _{t=0}^xf(t)\,d t\).

  1. Prolonger par continuité la fonction \(g\) en \(0\).

    1. Montrer que, pour \(a,b\in \mathbb{R}_{+}\), \(\int _{t=a}^bg^2 (t)\,d t = ag^2 (a)-bg^2 (b)+2\int _{t=a}^bf(t)g(t)\,d t\).

    2. Montrer que \(\int _{t=a}^bg^2 (t)\,d t\leq ag^2 (a)+2\left(\int _0^{+\infty }f^2 \right)^{\frac12} \left(\int _a^bg^2 \right)^{\frac12}\).

    3. En déduire que \(\left(\int _a^bg^2 \right)^{\frac12}\leq \left(\int _0^{+\infty }f^2 \right)^{\frac12} +\left(\int _0^{+\infty }f^2 +ag^2 (a)\right)^{\frac12}\).

  2. Montrer que \(g\) est de carré intégrable et que \(fg\) est intégrable.

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[ID: 3965] [Date de publication: 16 mars 2024 09:38] [Catégorie(s): Intégration et structure euclidienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale MP 2010
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:38

  1. \(g(0)=f(0)\).

    1. \(\dfrac{d (xg(x))}{d x}=f(x)\), soit \(xg'(x)=f(x)-g(x)\) et \(\dfrac{d (xg^2 (x))}{d x}=g^2 (x)+2xg'(x)g(x)=f(x)g(x)-g^2 (x)\).

    2. On pose \(\alpha =ag^2 (a)\), \(\beta =\left(\int _0^{+\infty }f^2 \right)^{\frac12}\) et \(\gamma =\left(\int _a^bg^2 \right)^{\frac12}\).

      Donc \(\gamma ^2 \leq \alpha +2\beta \gamma\), soit \((\gamma -\beta )^2 \leq \alpha +\beta ^2\), ce qui donne l’inégalité demandée.

  2. \(\int _0^bg^2\) est majorée indépendamment de \(b\), donc \(\int _0^{+\infty }g^2\) converge. \(f\) et \(g\) étant de carrés intégrables, \(fg\) est intégrable d’après l’inégalité \(2|fg|\leq f^2 +g^2\).

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