Soit \(f\) de classe \(\mathcal C ^2\) sur \(\mathbb{R}_{+}\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telle que \(f^2\) et \(f''^2\) sont intégrables sur \(\mathbb{R}_{+}\). Montrer que \(ff''\) et \(f'^2\) sont intégrables sur \(\mathbb{R}_{+}\), que \(f\) est uniformément continue et qu’elle tend vers zéro en \(+\infty\).

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[ID: 3963] [Date de publication: 16 mars 2024 09:38] [Catégorie(s): Intégration et structure euclidienne ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Centrale MP 2001
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:38

\(2|ff''| \leq f^2 + f''^2\) donc \(ff''\) est intégrable. On en déduit que \(f'^2\) admet une limite finie en \(+\infty\), et cette limite est nulle sans quoi \(f^2\) ne serait pas intégrable (si \(f'(x)\to _{x\to +\infty }l\) alors \(f(x)/x\to _{x\to +\infty }l\)). Ainsi \(f'\) est bornée sur \(\mathbb{R}_{+}\), \(f\) est lipschitzienne et donc uniformément continue. De plus, \[\int _{t=0}^X f'^2(t)\,d t = f(X)f'(X) - f(0)f'(0) - \int _{t=0}^X f(t)f''(t)\,d t\] donc \(f(X)f'(X)\) admet en \(+\infty\) une limite finie ou \(+\infty\), et le cas \(f(X)f'(X) = \frac12(f^2 )'(X) \to _{x\to +\infty }+\infty\) contredit l’intégrabilité de \(f^2\) donc ce cas est impossible, ce qui prouve que \(f'^2\) est intégrable sur \(\mathbb{R}_{+}\). Enfin, \(ff'\) est intégrable (produit de deux fonctions de carrés intégrables) donc \(f^2\) admet une limite finie en \(+\infty\) et cette limite vaut zéro par intégrabilité de \(f^2\).


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