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[ID: 3924] [Date de publication: 15 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Intégrales emboitées
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:09

\[\begin{aligned} \int _{x=0}^{X}\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{\sin t}t\,d t\,d x &=\Bigl[x\int _{t=x}^{+\infty }\dfrac{\sin t}t\,d t\Bigr]_{x=0}^{X} +\int _{x=0}^{X}\sin x\,d x\\ &=X\int _{t=X}^{+\infty }\dfrac{\sin t}t\,d t + 1 - \cos X\\ &=X\Bigl[\dfrac{-\cos t}t\Bigr]_{t=X}^{+\infty } - X\int _{t=X}^{+\infty }\dfrac{\cos t}{t^2 }\,d t + 1 - \cos X\\ &=-X\Bigl[\dfrac{\sin t}{t^2 }\Bigr]_{t=X}^{+\infty } - X\int _{t=X}^{+\infty }\dfrac{2\sin t}{t^3}\,d t + 1\\ &\to _{x\to +\infty } 1 \end{aligned}\]