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Intégrale de Gauss
Montrer que pour \(0\leq x\leq \sqrt n\) on a : \((1-\frac{x^2 }n)^n \leq e^{-x^2 }\) et pour \(x\) quelconque : \(e^{-x^2 }\leq (1+\frac{x^2 }n)^{-n}\).
Calculer les intégrales \(I_n = \int _{t=0}^{\sqrt n} (1-\frac{t^2 }n)^n \, d t\) et \(J_n = \int _{t=0}^{+\infty } (1+\frac{t^2 }n)^{-n}\, d t\) en fonction des intégrales : \(K_p = \int _{t=0}^{\pi /2} \cos^pt\,d t\).
On admet que \(K_p ~ \sqrt {\dfrac\pi {2p}}\) quand \(p\to \infty\). Calculer \(\int _{t=0}^{+\infty } e^{-t^2 }\,d t\).
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[ID: 3916] [Date de publication: 15 mars 2024 22:09] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
Intégrale de Gauss
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:09
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:09
\(I_n = \sqrt nK_{2n+1}\), \(J_n = \sqrt nK_{2n-1}\).
\(\frac{\sqrt \pi }2\).
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