1. A l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\sin t}t \,d t = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\sin^2 t}{t^2 } \,d t\).

  2. Montrer que l’intégrale \(I_n = \int _{t=0}^{\pi /2} \dfrac{\sin^2 nt}{t^2 }\,d t\) est comprise entre les intégrales \(A_n = \int _{t=0}^{\pi /2} \dfrac{\sin^2 nt}{\sin^2 t}\,d t\) et \(B_n = \int _{t=0}^{\pi /2} \mathop{\rm cotan}\nolimits^2 t\sin^2 nt\,d t\).

  3. Calculer \(A_n+A_{n+2} - 2A_{n+1}\) et \(A_n-B_n\). En déduire les valeurs de \(A_n\) et \(B_n\) en fonction de \(n\).

  4. Montrer que \(\dfrac{I_n}n \to _{n\to \infty } J = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{\sin^2 t}{t^2 }\,d t\) et donner la valeur de cette dernière intégrale.

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[ID: 3910] [Date de publication: 15 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Calcul de \(\int _{0} ^\infty \sin t/t\,d t\)
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:08

  1. \(A_n+A_{n+2} - 2A_{n+1} = 0 \Rightarrow A_n = \dfrac{n\pi }2\), \(A_n - B_n = \dfrac{\pi }4 \Rightarrow B_n = \dfrac{n\pi }2 - \dfrac{\pi }4\) pour \(n \geq 1\).

  2. \(J = \frac{\pi }2\).

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