Prouver la convergence des intégrales suivantes puis les calculer :

  1. \(\int _{t=0}^{2\pi } \dfrac{d t}{2+\sin t}\)

  2. \(\int _{t=-\pi }^\pi \dfrac{2d t}{2+\sin t+\cos t}\)

  3. \(\int _{t=0}^{\pi /2} \sqrt {\tan t}\,d t\)

  4. \(\int _{t=0}^{\pi /2} \dfrac{d t}{3\tan t+2}\)

  5. \(\int _{t=0}^\pi \dfrac{d t}{(a\sin^2 t+b\cos^2 t)^2 }\)

  6. \(\int _{t=0}^{\pi /4} \cos t\ln(\tan t)\,d t\)


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[ID: 3900] [Date de publication: 15 mars 2024 22:08] [Catégorie(s): Calculs d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

Calcul, fonctions trigonométriques
Par Michel Quercia le 15 mars 2024 22:08
  1. \(\int _{t=0}^{2\pi } \dfrac{d t}{2+\sin t}\) \(\frac{2\pi }{\sqrt 3}\)

  2. \(\int _{t=-\pi }^\pi \dfrac{2d t}{2+\sin t+\cos t}\) \(2\pi \sqrt 2\)

  3. \(\int _{t=0}^{\pi /2} \sqrt {\tan t}\,d t\) \(=\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{2t^2 \,d t}{1+t^4 } = \frac\pi {\sqrt 2}\)

  4. \(\int _{t=0}^{\pi /2} \dfrac{d t}{3\tan t+2}\) \(\dfrac{\pi +3\ln(3/2)}{13}\)

  5. \(\int _{t=0}^\pi \dfrac{d t}{(a\sin^2 t+b\cos^2 t)^2 }\) \(\dfrac{\pi (a+b)}{2\sqrt {ab}^3}\)

  6. \(\int _{t=0}^{\pi /4} \cos t\ln(\tan t)\,d t\) \(-\ln(1+\sqrt 2)\)


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