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[ID: 3960] [Date de publication: 16 mars 2024 09:29] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]

Solution(s)

Solution(s)

Comparaison série-intégrale, Mines 2013
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:29

Indication peu claire…

On écrit \(f(n+1)=f(n)+f'(n)+\int _{t=n}^{n+1}(n+1-t)f''(t)\,d t\) et \(f''(t) = \dfrac{\cos\sqrt t}{2t^{3/2}}-\dfrac{\sin\sqrt t}{t^2 } = O(1/t^{3/2})\) avec une constante indépendante de \(t\) pour \(t\geq 1\). Ainsi, \(\dfrac{\sin\sqrt n}n = f(n+1)-f(n)+O(1/n^{3/2})\).

L’intégrale généralisée \(\int _{t=1}^{+\infty }\dfrac{\sin\sqrt t}t\,d t\) est convergente  : écrire \(\dfrac{\sin\sqrt t}{\sqrt t}\times\dfrac1{\sqrt t}\) puis intégrer par parties, donc la série de terme général \(f(n+1)-f(n)\) est convergente et par addition, la série \(\sum\dfrac{\sin\sqrt n}n\) converge.

Considérons à présent \(g(x) = \int _{t=1}^x\dfrac{\cos\sqrt t}{\sqrt t}\,d t= \int _{u=1}^x\frac12\cos u\,d u=\frac12(\sin\sqrt x-\sin1)\).

On a \(g'(x)=\dfrac{\cos\sqrt x}{\sqrt x}\), \(g''(x)=-\dfrac{\sin\sqrt x}{2x}+O(1/x^{3/2})\) et \(g'''(x)=O(1/x ^{3/2})\),

d’où \(\dfrac{\cos\sqrt n}{\sqrt n}=g(n+1)-g(n)+\dfrac{\sin\sqrt n}{4n}+O(1/n^{3/2})\). Ainsi, les séries \(\sum(g(n+1)-g(n))\) et \(\sum\dfrac{\cos\sqrt n}{\sqrt n}\) ont même nature. Si elles convergent, alors la suite \((g(n))\) admet une limite finie et donc aussi la fonction \(g\) en \(+\infty\) car \(g(x)=g(n)+O(1/\sqrt n)\) pour \(n\leq x<n+1\), vu \(g'\). Or \(g\) n’a pas de limite en \(+\infty\), donc la série \(\sum\dfrac{\cos\sqrt n}{\sqrt n}\) est divergente.