Soit \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) continue telle que \(\int _{t=-\infty }^{+\infty }|f(t)|\,d t\) converge. On pose \(F(x) = {1/2}\int _{t=x-1}^{x+1}f(t)\,d t\).

Montrer que \(\int _{t=-\infty }^{+\infty }F(t)\,d t = \int _{t=-\infty }^{+\infty }f(t)\,d t\).

Démontrer le même résultat en supposant seulement la convergence de \(\int _{t=-\infty }^{+\infty }f(t)\,d t\)

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[ID: 3951] [Date de publication: 16 mars 2024 09:29] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Valeur moyenne sur le segment \(x-1\), \(x+1\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:29

\(\int _{t=a}^b F(t)\,d t = {1/2}\int _{u=a-1}^{a+1} (u-(a-1))f(u)\,d u + \int _{u=a+1}^{b-1} f(u)\,d u + {1/2}\int _{u=b-1}^{b+1} (b+1-u)f(u)\,d u\).

\(\phantom{\int _{t=a}^b F(t)\,d t} = \varphi (a+1) - {1/2}\int _{u=a-1}^{a+1}\varphi (u)\,d u + \int _{u=a+1}^{b-1} f(u)\,d u + {1/2}\int _{u=b-1}^{b+1}\varphi (u)\,d u - \varphi (b-1)\) où \(\varphi\) est une primitive de \(f\).

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