1. Soit \(f:{]0,+\infty [}\to \mathbb{R}\) une fonction continue telle que \(f(x) \to _{x\to 0_{+} } l\) et \(f(x) \to _{x\to +\infty } L\) avec \(l ,L\in \mathbb{R}\).

    Pour \(a > 0\), établir la convergence et calculer la valeur de \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac {f(at) - f(t)}t \,d t\).

  2. Application : Calculer \(\int _{t=0}^1 \dfrac{t-1}{\ln t}\,d t\).

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[ID: 3943] [Date de publication: 16 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

Solution(s)

\((f(ax) - f(x))/x\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:19

  1. \(\int _{t=x}^y \dfrac {f(at)}t \,d t = \int _{t=ax}^{ay} \dfrac {f(t)}t \,d t \Rightarrow \int _{t=x}^y \dfrac {f(at)-f(t)}t \,d t = \int _{t=ax}^x \dfrac {f(t)}t \,d t +\int _{t=y}^{ay} \dfrac {f(t)}t \,d t\).

    On obtient \(\int _{t=0}^{+\infty } \dfrac {f(at) - f(t)}t \,d t = (L-l )\ln a\).

  2. \(I = \int _{t=0}^{+\infty } \dfrac{e^{-t}-e^{-2t}}t\,d t = \ln 2\).

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