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\(x(f(x)-f(x+1))\)
Soit \(f:[1,+\infty [\to \mathbb{R}_{+}\) une fonction décroissante telle que \(\int _{t=1}^{+\infty } f(t)\,d t\) converge.
Montrer que \(xf(x) \to _{x\to +\infty } 0\), puis que \(\int _{t=1}^{+\infty } t(f(t)-f(t+1))\,d t\) converge, et calculer la valeur de cette intégrale.
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[ID: 3940] [Date de publication: 16 mars 2024 09:19] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]Solution(s)
Solution(s)
\(x(f(x)-f(x+1))\)
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:19
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:19
\(0 \leq xf(x) \leq 2\int _{t=x/2}^x f(t)\,d t \to _{x\to +\infty } 0\).
\(\int _{t=1}^x t(f(t)-f(t+1))\,d t = \int _{t=1}^2 tf(t)\,d t + \int _{t=2}^x f(t)\,d t - \int _{t=x}^{x+1} (t-1)f(t)\,d t \to _{x\to +\infty } \int _{t=1}^2 tf(t)\,d t + \int _{t=2}^{+\infty } f(t)\,d t\).
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