Soit \(f:\mathbb{R}_{+} \to \mathbb{R}\). On pose, sous réserve de convergence, \(g(t) = \sum_{n=0}^\infty f(nt)\) pour \(t>0\).

  1. Si \(f\) est monotone et intégrable, montrer que \(g(t)\) existe pour tout \(t>0\) et que l’on a :

    \(tg(t)\to _{t\to 0_{+} } \int _{u=0}^{+\infty } f(u)\,d u\).

  2. Même question en supposant \(f\) de classe \(\mathcal C ^1\) et \(f\),\(f'\) intégrables.

  3. On suppose maintenant \(f\) de classe \(\mathcal C ^2\) et \(f\), \(f'\), \(f''\) intégrables.

    Montrer que \(g(t) = \frac1t\int _{0} ^{+\infty } f + {1/2}f(0) + {\rm O}_{t\to 0_{+} }(t)\).

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[ID: 3936] [Date de publication: 16 mars 2024 09:18] [Catégorie(s): Etudes théoriques d'intégrales généralisées ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Michel Quercia ]




Solution(s)

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Comparaison série-intégrale
Par Michel Quercia le 16 mars 2024 09:18

  1. en supposant \(f\) positive décroissante, \(\int _{0} ^{+\infty }f \leq tg(t) \leq tf(0) + \int _{0} ^{+\infty }f\).

  2. \(\int _{u=pt}^{qt}f(u)\,d u - \sum_{n=p}^{q-1}tf(nt) = \int _{u=pt}^{qt}(f(u)-f(t[u/t]))\,d u = \int _{v=pt}^{qt}t(1-\{ v/t\} )f'(v)\,d v\to _{p,q\to \infty }0\).

    Donc la série de terme général \(tf(nt)\) est de Cauchy ; elle converge.

    On a alors \({\int _{0} ^{+\infty }f} - tg(t) = \int _{v=0}^{+\infty }t(1-\{ v/t\} )f'(v)\,d v\to _{t\to 0_{+} }0\).

  3. \(\int _{0} ^{+\infty }2f - 2tg(t) = \int _{u=0}^{+\infty }2t(1-\{ u/t\} )f'(u)\,d u = tf(0) - \int _{u=0}^{+\infty }t^2 \{ u/t\} (1-\{ u/t\} )f''(u)\,d u\).

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