Dans l’espace euclidien \(E = \mathbb{R}^{3}\), rapporté à un repère orthonormé direct, on considère deux droites \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) d’équation cartésienne \[\mathcal{D}_1 : \begin{cases} x + y - 3z + 4 = 0 \\ 2x-z + 1 = 0 \end{cases} \quad \textrm{ et} \quad\mathcal{D}_2 : \begin{cases} x - z + 1 = 0 \\ y - z + 1 = 0 \end{cases}\]

  1. Trouvez une équation cartésienne de la perpendiculaire commune \(\Delta\) à \(\mathcal D_1\) et \(\mathcal D_2\).

  2. Déterminez la distance entre les droites \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) par deux méthodes différentes :

    1. la première utilisant le cours.

    2. la seconde utilisant le plan \(\mathcal{P}\) contenant la droite \(\mathcal{D}_2\) et parallèle à la droite \(\mathcal{D}_1\)

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[ID: 284] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:52] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




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Exercice 586
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:52

  1. Le vecteur \(\overrightarrow{d_1} \underset{}{\left|\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{matrix}\right.}\) dirige la droite \(\mathcal{D}_1\) et le vecteur \(\overrightarrow{d_2} \underset{}{\left|\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}\right.}\) dirige la droite \(\mathcal{D}_2\). Par conséquent, le vecteur \(\overrightarrow{d_1} \wedge \overrightarrow{d_2} \underset{}{\left|\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ -4 \end{matrix}\right.}\) dirige la perpendiculaire commune \(\Delta\). Écrivons une équation du plan \(\mathcal{P}_1\) contenant la droite \(\mathcal{D}_1\) et orthogonal à \(\mathcal{D}_2\). En fixant \(z=0\) dans l’équation cartésienne de \(\mathcal D_1\), on trouve qu’un point de \(D_1\) est \(A_1\left(-1/2,-7/2,0\right)\). Le plan \(\mathcal P_1\) passe par \(A_1\) et admet \(\overrightarrow{n}_1=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{d_1}=2 \underset{}{\left|\begin{matrix} 11 \\ -5 \\ 7 \end{matrix}\right.}\) comme vecteur normal. On a donc : \(\mathcal P_1:\quad 11x-5y+7z-12=0\).

    De même, on détermine une équation cartésienne du plan \(\mathcal P_2\) contenant \(\mathcal{D}_2\) et orthogonal à \(\mathcal{D}_1\). En fixant \(z=0\) dans l’équation cartésienne de \(\mathcal D_2\), on trouve qu’un point de \(D_2\) est \(A_2\left(-1,-1,0\right)\). Le vecteur \(\overrightarrow{n}_2=\overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{d}_2= \underset{}{\left|\begin{matrix} 5 \\ -7 \\ 2 \end{matrix}\right.}\) est normal à \(\mathcal P_2\) donc \(P_2:\quad 5x-7y+2z-2=0\).

    On en tire une équation cartésienne de \(\Delta\) : \[\boxed{\Delta : \begin{cases} 11x-5y+7z-12=0 \\ 5x-7y+2z-2=0 \end{cases}}\]

    1. D’après le cours \[d\left(\mathcal D_1,\mathcal D_2\right) = \dfrac{ \left| \mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{d_1},\overrightarrow{d_2} ,\overrightarrow{A_1 A_2}\right) \right| }{ \left\| \overrightarrow{\,\hbox{\rm d}_2} \wedge \overrightarrow{d_2} \right\| }=\dfrac{1}{\sqrt{26}}\left| \begin{array}{ccc} 1&1&-1/2\\5&1&5/2\\2&1&0 \end{array}\right|=\boxed{\dfrac{1}{\sqrt{26}}}\]

    2. Pour calculer \(d(\mathcal{D}_1, \mathcal{D}_2)\), considérons le plan \(\mathcal{P}\) contenant la droite \(\mathcal{D}_2\) et parallèle à la droite \(\mathcal{D}_1\). Un vecteur normal à ce plan est \(\overrightarrow{w}=\overrightarrow{d_1}\wedge \overrightarrow{d_2}\). La distance entre \(\mathcal{D}_1\) et \(\mathcal{D}_2\) est la distance entre un point quelconque de \(\mathcal{D}_1\) et le plan \(\mathcal{P}\). On trouve \[d(\mathcal{D}_1, \mathcal{D}_2)=d\left(A_1,\mathcal P\right)= \dfrac{\left|\overrightarrow{w} . \overrightarrow{A_1 A_2}\right|}{\left\|\overrightarrow{w}\right\|} = \boxed{\dfrac{1}{\sqrt{26}}}.\]

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Exercice 586
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