On considère dans \(\mathcal{E}_3\) la droite \[\mathcal{D} : \left\{\begin{matrix} x = az + p \\ y = bz + q \end{matrix}\right.\] et les points \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\0\\h \end{matrix}\right.}\), \(A'= \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\0\newline-h \end{matrix}\right.}\). On suppose que \(A\not\in \mathcal{D}\) et que \(A'\not\in\mathcal{D}\).

  1. Donner une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) (respectivement \(\mathcal{P}'\)) passant par le point \(A\) (resp \(A'\)) contenant la droite \(\mathcal{D}\).

  2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(a,b,p,q,h\) pour que \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}'\) soient perpendiculaires.

( ).
On pourra utiliser la notion de faisceau de plans développée dans l’exercice page

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[ID: 282] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:52] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 272
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:52
  1. Le plan \(\mathcal{P}\) appartient au faisceau de plans issu de la droite \(\mathcal{D}\). Son équation cartésienne est de la forme \[(\mathcal{P}) : \theta(x - az - p) + (y - bz + q) = 0\] (s’il est différent du plan d’équation \(x = az + p\)). Il contient le point \(A\) si et seulement si \[\theta = -\dfrac{bh+q}{ah+p}\] (On suppose que \(ah+p \neq 0\). Comme \(A\not\in \mathcal{P}\), si \(ah+p=0\), le plan cherché serait le plan d’équation \(x -az - p = 0\)). On trouve alors l’équation cartésienne de \(\mathcal{P}\) : \[-(bh+q)x + (ah+p)y + (aq-bp)z + h(bp-aq) = 0\] En utilisant la même technique, on trouve une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}'\) : \[-(bh-q)x + (ah-p)y + (bp-aq)z + h(bp-aq) = 0\]

  2. Les deux plans sont perpendiculaires si et seulement si \[(bh+q)(bh-q) + (ah+p)(ah-p) - (aq-bp)^2 = 0\] c’est-à-dire \[h^2(a^2 + b^2) = p^2(b^2 + 1) + q^2(a^2 + 1) - 2abpq .\]


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