On considère dans l’espace muni d’un repère \(\mathcal{R}\), les deux droites d’équations : \[\mathscr D \begin{cases} x - z - a &= 0 \\ y + 3z + 1 &= 0 \end{cases} \quad\mathscr D' \begin{cases} x + 2y + z - 2b &= 0 \\ 3x + 3y + 2z - 7 &= 0 \end{cases}\] où \((a, b) \in \mathbb{R}^{2}\).

  1. Montrer qu’elles ne sont pas parallèles.

  2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \((a, b)\) pour que les deux droites soient sécantes. Former alors l’équation cartésienne de leur plan.

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[ID: 278] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:52] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]




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Exercice 477
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:52

  1. On trouve un vecteur directeur de \(\mathscr D\) : \(\overrightarrow{d} = (1,-3,1)\) et de \(\mathscr D'\) : \(\overrightarrow{d'} = (1,1,-3)\). Ils ne sont pas colinéaires et donc les droites ne sont pas parallèles.

  2. On détermine un point \(A\) de \(\mathscr D\) . On suppose que \(x=a\) et on reporte dans le système définissant \(\mathscr D\). Il vient \(\begin{cases} z&=0\\y+3z+1&=0 \end{cases}\) et donc \(A\left(a,-1,0\right)\). On fait de même pour \(\mathscr D'\). On suppose que \(y=b\) et on reporte dans le système définissant \(\mathscr D'\). Il vient \(\begin{cases} x + z &= 0 \\ 3x + 3b + 2z - 7 &= 0 \end{cases}\) donc \(A'\left(7-3b,b,3b-7\right)\in\mathscr D'\). De plus \(A\neq A'\). Les deux droites sont sécantes si et seulement si \(\mathop{\rm det}\left(\overrightarrow{d},\overrightarrow{d}',\overrightarrow{AA'}\right)=0\), c’est-à-dire si et seulement si \(-8a-8b+32=0\) ce qui s’écrit aussi \(\boxed{a+b=4}\). On pourrait aussi procéder ainsi. Les deux droites sont concourantes si et seulement si le système de \(4\) équations à \(3\) inconnues est compatible. On écrit : \[\left\{ \vcenter{\ialign{&$\hfil{}##{}$\crcr x&&-z&=&a \cr &y&+3z&=&-1 \cr x&+2y&+z&=&2b \cr 3x&+3y&+2z&=&7 \crcr}} \right.\Longleftrightarrow\left\{ \vcenter{\ialign{&$\hfil{}##{}$\crcr x&&-z&=&a& \cr &y&+3z&=&-1 & \cr &2y&+2z&=&2b-a &\quad L_3 -L_1\cr &3y&+5z&=&7-3a &\quad L_4-3L_1\crcr}} \right. \Longleftrightarrow\left\{ \vcenter{\ialign{&$\hfil{}##{}$\crcr x&&-z&=&a& \cr &y&+3z&=&-1 & \cr &&-2z&=&b-{\scriptstyle a\over\scriptstyle 2}+1 & {\scriptstyle L_3\over\scriptstyle 2}-L_2 \cr &&-4z&=&10-3a &\quad L_4-3L_2\crcr}} \right..\] Donc le système est compatible si et seulement si \(2\left(b-{\scriptstyle a\over\scriptstyle 2}+1\right)=10-3a\) c’est-à-dire si et seulement si \(\boxed{a + b = 4}\).

    On calcule facilement que l’équation du plan alors formé par les deux droites est \(\boxed{2x + y + 2 - 2a + 1 = 0}\).

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