On considère les droites \[\mathcal{D}: \left\{ \begin{matrix} x = z-1 \\ y = 2z+1 \end{matrix} \right.\] \[\mathcal{D}': \left\{ \begin{matrix} y=2x+1 \newline z=2x-1 \end{matrix} \right.\] Montrer qu’il existe un unique couple de plans \((\mathcal{P}, \mathcal{P}')\) tels que \[\mathcal{D} \subset \mathcal{P}, \quad\mathcal{D}'\subset \mathcal{P}' \quad\mathcal{P} // \mathcal{P}'\] Déterminer une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}'\).
( ).
On pourra utiliser la notion de faisceau de plans développée dans l’exercice page

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[ID: 274] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:51] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 645
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:51

Supposons qu’il existe deux plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}'\) vérifiant les conditions de l’énoncé. Comme \(\mathcal{D} \subset \mathcal{P}\), \(\mathcal P\) appartient au faisceau de plan issu de \(\mathcal D\) et comme \(\mathcal{D'} \subset \mathcal{P'}\), \(\mathcal P'\) appartient au faisceau de plan issu de \(\mathcal D'\). Il existe alors \(\theta,\theta'\in\mathbb{R}\) tels que : \[\mathcal{P}: (x-z+1) + \theta(y-2z-1) = 0\] \[\mathcal{P'}: (y-2x-1) + \theta'(z-2x+1) = 0\] On écrit l’équation cartésienne des plans vectoriels associés: \[P: x + \theta y -(1+2\theta) z = 0\] \[P': -2(1+\theta') x + y +\theta' z =0\] Ces deux plans sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\ \theta\\-\left(1+2\theta\right) \end{matrix}\right.}\) et \(\underset{}{\left|\begin{matrix} -2(1+\theta') \\ 1\\ \theta' \end{matrix}\right.}\) sont colinéaires. En utilisant le produit vectoriel, la condition de parallélisme s’écrit donc : \[\begin{cases}\theta\theta'+2\theta+1&=0\\ 2\left(1+2\theta\right)\left(1+\theta'\right)-\theta'&=0\\ 1+2\theta\left(1+\theta'\right)&=0 \end{cases} \Longleftrightarrow\begin{cases}\theta\theta'+2\theta+1&=0\\ 4\theta\theta'+4\theta+\theta'+2&=0\\ 2\theta\theta'+2\theta+1&=0 \end{cases}\] En soustrayant la première et la troisième équation, on trouve \(\theta\theta'=0\). Mais \(\theta=0\) est impossible d’après la première équation, donc \(\theta'=0\). Il vient alors \(\theta = -{1}/{2}\). On trouve finalement : \[\boxed{ \mathcal{P}: 2x - y +3 = 0} \quad \textrm{ et} \quad\boxed{ \mathcal{P}': -2x + y -1 = 0}\] Réciproquement, on vérifie que les plans \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}'\) donnés par ces deux équations cartésiennes sont solutions du problème.


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