Trouver l’équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\) passant par les points \(A=(1,1,1)\) et \(B=(2,1,0)\) et tel que la droite \[\mathcal{D}: \left\{ \begin{matrix} x+2y+z-2\newline x+y-z+3=0 \end{matrix}\right.\] soit parallèle à \(\mathcal{P}\).
( ).
Utiliser la notion de faisceau de plans développée dans l’exercice page

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[ID: 272] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:51] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 78
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:51

Une équation paramétrique de \(\left(AB\right)\) est \(\begin{cases}x&=1+t\\y& =1\\z&=1-t\end{cases}\). On en tire une équation cartésienne de \((AB)\) : \[\left\{ \begin{matrix} y-1&=0 \\ x+z-2&=0 \end{matrix} \right.\] Le plan \(\mathcal{P}\) doit appartenir au faisceau issu de \(\left(AB\right)\) : \[\mathcal{P} : x+\lambda y + z -(2+\lambda)=0\] On trouve un vecteur directeur de \(\mathcal{D}\) : \[\overrightarrow{u} = \underset{}{\left|\begin{matrix} -3\\2\\-1 \end{matrix}\right.}.\] Comme \(\mathcal D\) est parallèle à \(\mathcal P\), le vecteur \(\overrightarrow{u}\) doit appartenir au plan vectoriel d’équation \(x+\lambda y + z=0\) ce qui implique que \(\lambda = 2\) d’où \[\boxed{\mathcal{P} : x+2y+z-4=0}\]


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