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Faisceau de plans
Soit \(\mathcal D\) une droite d’équations cartésiennes : \[\mathcal D~:\begin{cases}ax+by+cz+d&=0\\ a'x+b'y+c'z+d'&=0\end{cases}.\] On appelle faisceau de plans issu de \(\mathcal D\) l’ensemble des plans de l’espace contenant \(\mathcal D\).
Montrer qu’un plan \(\mathcal P\) est élément du faisceau issu de \(\mathcal D\) si et seulement si il a une équation cartésienne de la forme : \[\mathcal P~: \alpha\left(ax+by+cz+d\right)+\beta\left(a'x+b'y+c'z+d'\right)=0\] où \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) sont deux réels non tous deux nuls.
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[ID: 270] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:51] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur ]Solution(s)
Solution(s)
Faisceau de plans
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:51
Par François Capaces Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur le 4 janvier 2021 22:51
Posons \(\overrightarrow{n}= \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\b\\c \end{matrix}\right.}\) et \(\overrightarrow{n}'= \underset{}{\left|\begin{matrix} a'\\b'\\c' \end{matrix}\right.}\). Un vecteur directeur à \(\mathcal D\) est \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n} \wedge \overrightarrow{n}'\). Notons \(\mathscr V\) la plan vectoriel engendré par \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{n}'\). Tout vecteur de ce plan est orthogonal à tout vecteur directeur de \(\mathcal D\). Réciproquement, tout vecteur orthogonal à un vecteur directeur de \(\mathcal D\) est élément de \(\mathscr V\).
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