Soit \(\mathcal D\) une droite d’équations cartésiennes : \[\mathcal D~:\begin{cases}ax+by+cz+d&=0\\ a'x+b'y+c'z+d'&=0\end{cases}.\] On appelle faisceau de plans issu de \(\mathcal D\) l’ensemble des plans de l’espace contenant \(\mathcal D\).

Montrer qu’un plan \(\mathcal P\) est élément du faisceau issu de \(\mathcal D\) si et seulement si il a une équation cartésienne de la forme : \[\mathcal P~: \alpha\left(ax+by+cz+d\right)+\beta\left(a'x+b'y+c'z+d'\right)=0\]\(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) sont deux réels non tous deux nuls.


Barre utilisateur

[ID: 270] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:51] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Faisceau de plans
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:51

Posons \(\overrightarrow{n}= \underset{}{\left|\begin{matrix} a\\b\\c \end{matrix}\right.}\) et \(\overrightarrow{n}'= \underset{}{\left|\begin{matrix} a'\\b'\\c' \end{matrix}\right.}\). Un vecteur directeur à \(\mathcal D\) est \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{n} \wedge \overrightarrow{n}'\). Notons \(\mathscr V\) la plan vectoriel engendré par \(\overrightarrow{n}\) et \(\overrightarrow{n}'\). Tout vecteur de ce plan est orthogonal à tout vecteur directeur de \(\mathcal D\). Réciproquement, tout vecteur orthogonal à un vecteur directeur de \(\mathcal D\) est élément de \(\mathscr V\).

  • Supposons que \(\mathcal P\) est élément du faisceau issu de \(\mathcal D\). Un vecteur \(\overrightarrow{N}\) normal à \(\mathcal P\) est orthogonal à \(\overrightarrow{u}\) et est donc élément du plan vectoriel \(\mathscr V\). Par conséquent, il existe \(\alpha,\beta\in\mathbb{R}\) non tous deux nuls tels que \(\overrightarrow{N} = \alpha\overrightarrow{n}+\beta\overrightarrow{n}'\). Une équation de \(\mathcal P\) est alors de la forme \(\alpha\left(ax+by+cz\right)+\beta\left(a'x+b'y+c'z\right)+D=0\)\(D\in\mathbb{R}\). Considérons un point \(M\in\mathcal D\). Comme les coordonnées de \(M\) vérifient à la fois les équations de \(\mathcal D\) et \(\mathcal P\), on obtient : \(D=\alpha d+\beta d'\). On a ainsi prouvé qu’une équation cartésienne de \(\mathcal P\) est de la forme proposée.

  • Réciproquement, supposons que \(\mathcal P\) ait une équation cartésienne de la forme : \(\mathcal P~: \alpha\left(ax+by+cz+d\right)+\beta\left(a'x+b'y+c'z+d'\right)=0\). Un vecteur normal à \(\mathcal P\) est \(\alpha\overrightarrow{n}+\beta\overrightarrow{n}'\) qui est orthogonal à \(\overrightarrow{u}\) car élément de \(\mathscr V\). La droite \(\mathcal D\) et le plan \(\mathcal P\) sont donc parallèles. On considère alors un point \(M\) de \(\mathcal D\). Comme les coordonnées de \(M\) vérifient les équations de \(\mathcal D\), elles vérifient l’équation de \(\mathcal P\) et donc \(M\in\mathcal P\). Le plan \(\mathcal P\) contient alors nécessairement la droite \(\mathcal D\).


Documents à télécharger