Soit \(a \in \mathbb{R}\) et le point \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1\\a \end{matrix}\right.}\). On considère les quatre plans d’équations : \[P_1~:x+y-1=0,~P_2:~y+z-1=0,~P_3:~x+z-1=0,~P_4:~x-y+z=0\] Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) pour que les projections orthogonales de \(A\) sur les quatre plans soient \(4\) points coplanaires.


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[ID: 266] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:51] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 1005
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:51

Un vecteur normal au plan \((P_1)\) est \(\overrightarrow{n_1} \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1\\0 \end{matrix}\right.}\). En notant \(A_1 \underset{}{\left|\begin{matrix} x\\y\\z \end{matrix}\right.}\) le projeté orthogonal de \(A\) sur le plan \(P_1\), il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(A_1 = A + \lambda \overrightarrow{n}\) : \[\begin{cases} x &= 1 + \lambda \\ y &= 1+\lambda \\ z &= a \end{cases}\] Comme \(A_1 \in P_1\), on a \((1+\lambda) + (1+\lambda) - 1 = 0\) d’où l’on tire \(\lambda = -1/2\) et \(A_1 \underset{}{\left|\begin{matrix} 1/2\\1/2\\a \end{matrix}\right.}\). Par la même méthode, on trouve \(A_2 \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1-a/2\\a/2 \end{matrix}\right.}\), \(A_3 \underset{}{\left|\begin{matrix} 1-a/2\\1\\a/2 \end{matrix}\right.}\) et \(A_4 \underset{}{\left|\begin{matrix} 1-a/3\\1+a/3\\2a/3 \end{matrix}\right.}\). Les quatre points sont coplanaires si et seulement si \(\mathop{\rm det}(\overrightarrow{A_1A_2}, \overrightarrow{A_1A_3}, \overrightarrow{A_1A_4}) = 0\), ou encore (pour simplifier les calculs), \(\mathop{\rm det}(2\overrightarrow{A_1A_2}, 2\overrightarrow{A_1A_3}, 6\overrightarrow{A_1A_4}) = 0\). En développant, on trouve que \(2a(a+1) = 0\), c’est-à-dire .


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