On considère la droite d’équation : \[\begin{cases} x + y -z +1 &= 0 \\ 2x - y + z - 2 &= 0 \end{cases}\] Déterminer la distance du point \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\2\\1 \end{matrix}\right.}\) à cette droite.


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[ID: 264] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:51] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 616
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:51

Le vecteur \(\overrightarrow{u} \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1\\-1 \end{matrix}\right.}\) est normal au plan \(\mathcal{P}_1\), le vecteur \(\overrightarrow{v} \underset{}{\left|\begin{matrix} 2\\-1\\1 \end{matrix}\right.}\) est normal au plan \(\mathcal{P}_2\). Puisque \(\mathcal{D} = \mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2\), le vecteur \(\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{v} \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\-3\\-3 \end{matrix}\right.}\) dirige la droite \(\mathcal{D}\). On peut également prendre comme vecteur directeur le vecteur \(\overrightarrow{n} \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\1\\1 \end{matrix}\right.}\) qui lui est proportionnel. Cherchons un point \(A\) de la droite \(\mathcal{D}\). En choisissant \(z=0\), on trouve par exemple \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1/3\\-4/3\\0 \end{matrix}\right.}\). Et alors : \[d(\Omega, \mathcal{D}) = \dfrac{\lVert \overrightarrow{A\Omega}\wedge\overrightarrow{n} \rVert_{ }}{\lVert \overrightarrow{n} \rVert_{ }} = \dfrac{\sqrt{19}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\]


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