On considère le plan \(\mathcal{P}\) représenté paramétriquement par : \[\begin{cases} x &= 2 + \lambda - \mu \\ y &= 3 - \lambda + 2\mu \\ z &= 1 + 2\lambda + \mu \end{cases} \quad(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}\]

  1. Donner une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\).

  2. Déterminer la distance du point \(A \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\1\\1 \end{matrix}\right.}\) au plan \(\mathcal{P}\).

  3. Donner une équation cartésienne de la droite passant par le point \(A\) et perpendiculaire au plan \(\mathcal{P}\).


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[ID: 262] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:51] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 993
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:51
  1. Le plan passe par le point \(\Omega \underset{}{\left|\begin{matrix} 2\\3\\1 \end{matrix}\right.}\) et est dirigé par les vecteurs \(\overrightarrow{u} \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\-1\\2 \end{matrix}\right.}\), \(\overrightarrow{v} \underset{}{\left|\begin{matrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right.}\). Le vecteur \(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{u}\wedge \overrightarrow{v} \underset{}{\left|\begin{matrix} -5 \\-3\\1 \end{matrix}\right.}\) est normal au plan. L’équation cartésienne est donc de la forme \(-5x-3y+z+c=0\). Puisque \(\Omega \in \mathcal{P}\), on trouve que \(c = 18\), et donc \[\boxed{ \mathcal{P}:~ -5x-3y+z+18 = 0 }\]

  2. Utilisons la formule du cours : \[d(A, \mathcal{P}) = \dfrac{\lvert -5-3+1+18 \rvert }{\sqrt{5^2+3^2+1^2}} = \dfrac{11}{\sqrt{35}}\]

  3. La droite est dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{n}\) d’où une équation paramétrique : \[\begin{cases} x &= 1 - 5\lambda \\ y &= 1 - 3\lambda \\ z &= 1 + \lambda \end{cases}\] En éliminant le paramètre, on obtient une équation cartésienne : \[\begin{cases} x + 5z - 2 &= 0 \\ y + 3z - 4 &= 0 \end{cases}\]


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