On considère les plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\) d’équations respectives \(3x-4y+1=0\) et \(2x-3y+6z-1=0\). Déterminer l’ensemble des points équidistants de \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\).


Barre utilisateur

[ID: 258] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:51] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 949
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:51

Soit \(M\left(x,y,z\right)\). On a la série d’équivalences : \[\begin{aligned} & & d\left(M,\mathscr P\right)=d\left(M,\mathscr Q\right)\\ &\Longleftrightarrow& \dfrac{\left|3x-4y+1\right|}{\sqrt{3^2 +4^2}} = \dfrac{\left|2x-3y+6z-1\right|}{\sqrt{2^2+3^2+6^2}}\\ &\Longleftrightarrow& 7\left|3x-4y+1\right| = 5\left|2x-3y+6z-1\right|\\ &\Longleftrightarrow& 7\left(3x-4y+1\right) = 5\left(2x-3y+6z-1\right) \quad \textrm{ ou} \quad 7\left(3x-4y+1\right) = -5\left(2x-3y+6z-1\right)\\ &\Longleftrightarrow& 11x-13y-30z+2=0 \quad \textrm{ ou} \quad 31x-43y+30z=0 \end{aligned}\]

Le lieu des points équidistants de \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\) est donc la réunion des plans d’équations \(11x-13y-30z+12=0\) et \(31x-43y+30z+2=0\). Ces deux plans sont appelés plans médiateurs de \(\mathscr P\) et \(\mathscr Q\).


Documents à télécharger