On considère les plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) d’équations respectives \(x-y+z+1=0\) et \(2x+y-z-1=0\).

  1. Vérifier que ces deux plans ne sont pas parallèles.

  2. Déterminer une paramétrisation de leur intersection \(\mathscr D\).

  3. Donner une équation cartésienne du plan \(\mathscr Q\) passant par \(A=(1,1,0)\) et perpendiculaire aux deux plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\).


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[ID: 256] [Date de publication: 4 janvier 2021 22:51] [Catégorie(s): Coordonnées cartésiennes dans l'espace ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 382
Par emmanuel le 4 janvier 2021 22:51
  1. Un vecteur normal à \(\mathscr P\) est \(\overrightarrow{n} \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\-1\\1 \end{matrix}\right.}\) et un vecteur normal à \(\mathscr P'\) est \(\overrightarrow{n'} \underset{}{\left|\begin{matrix} 2\\1\\-1 \end{matrix}\right.}\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les plans ne sont pas parallèles. Leur intersection est alors une droite \(\mathscr D\).

  2. \(\mathscr D\) est dirigée par le vecteur \[\overrightarrow{n} \wedge \overrightarrow{n'}= \underset{}{\left|\begin{matrix} 1\\-1\\1 \end{matrix}\right.} \wedge \underset{}{\left|\begin{matrix} 2\\1\\-1 \end{matrix}\right.} = \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\3 \\3 \end{matrix}\right.}\] ou encore par le vecteur \(\overrightarrow{u} = \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\1\\1 \end{matrix}\right.}\). Un point de \(\mathscr D\) est : \(M \underset{}{\left|\begin{matrix} 0\\0 \\-1 \end{matrix}\right.}\). On l’obtient à partir du système \(\begin{cases}x-y+z+1&=0\\2x+y-z-1&=0 \end{cases}\) en fixant \(y=0\) et en résolvant le système à deux équations et deux inconnues ainsi obtenu. Une paramétrisation de \(\mathscr D\) est alors : \(\boxed{\begin{cases} x&=0 \\y&=t \\z&=-1+t \end{cases},\quad t\in\mathbb{R}}\).

  3. Le plan \(\mathscr Q\) passant par \(A=(1,1,0)\) et perpendiculaire aux deux plans \(\mathscr P\) et \(\mathscr P'\) admet \(\overrightarrow{u}\) comme vecteur normal. Son équation est donc de la forme : \(y+z+c=0\). Comme \(A\in \mathscr Q\), \(c=-1\) et une équation de \(\mathscr Q\) est \(\boxed{y+z-1=0}\).


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